Fullständig lösning till uppgift 4.15
Fråga
För jämvikten H2(g) + CO2(g) ⇌ H2O(g) + CO(g) är jämviktskonstanten 4,40 vid 2000 K. Man blandar 1,00 mol av vardera vätgas, koldioxid, vatten och komonoxid i ett reaktionskärl med volymen 3,00 dm3. Blandningen upphettas till 2000 K och jämvikt får ställa in sig. Hur stor substansmängd av de olika ämnena kommer att finnas i jämviktsblandningen?
Svar
\(n_{\text{H}_2}=0,646\text{mol}\)
\(n_{\text{CO}_2}=0,646\text{mol}\)
\(n_{\text{H}_2\text{O}}=1,35\text{mol}\)
\(n_{\text{CO}}=1,35\text{mol}\)
Fullständig lösning
Vi börjar med att räkna ut åt vilket håll reaktionen går, genom att beräkna koncentrationskvoten \(Q\).
\[Q = \frac {[\text{H}_2\text{O}][\text{CO}]}{[\text{H}_2][\text{CO}_2]} = \frac {\frac {1,00}{3,00} \cdot \frac {1,00}{3,00}}{\frac {1,00}{3,00} \cdot \frac {1,00}{3,00}} = 1 < K = 4,40\]
Eftersom \(Q < K\) går reaktionen åt höger. Då kan vi ställa upp en liten tabell!
| [H2] | [CO2] | [H2O] | [CO] | ||
| Före reaktion | \(\frac {1,00}{3,00}\) | \(\frac {1,00}{3,00}\) | \(\frac {1,00}{3,00}\) | \(\frac {1,00}{3,00}\) | M |
| Ändring | \(-x\) | \(-x\) | \(+x\) | \(+x\) | M |
| Vid jämvikt | \(\frac {1,00}{3,00} - x\) | \(\frac {1,00}{3,00} - x\) | \(\frac {1,00}{3,00} + x\) | \(\frac {1,00}{3,00} + x\) | M |
Vi kan sätta in värdena i jämviktsekvationen:
\[K = \frac {[\text{H}_2\text{O}][\text{CO}]}{[\text{H}_2][\text{CO}_2]}\]
\[4,40 = \frac {\left( \frac {1,00}{3,00} + x \right ) \cdot \left( \frac {1,00}{3,00} + x \right )}{\left( \frac {1,00}{3,00} - x \right ) \cdot \left( \frac {1,00}{3,00} - x \right )} = \frac {\left( \frac {1,00}{3,00} + x \right )^2}{\left( \frac {1,00}{3,00} - x \right )^2}\]
Enklaste sättet att lösa den här ekvationen är att dra roten ur både höger- och vänsterledet. Såhär:
\[\sqrt{4,40} = \sqrt{\frac {\left( \frac {1,00}{3,00} + x \right )^2}{\left( \frac {1,00}{3,00} - x \right )^2}} = \frac {\frac {1,00}{3,00} + x}{\frac {1,00}{3,00} - x}\]
Vi multiplicerar med \(\frac {1,00}{3,00} - x\) i både höger- och vänsterledet och får:
\[\sqrt{4,40} \cdot \left(\frac {1,00}{3,00} - x \right ) = \frac {\frac {1,00}{3,00} + x}{\frac {1,00}{3,00} - x} \cdot \left(\frac {1,00}{3,00} - x \right )\]
\[\sqrt{4,40} \cdot \left(\frac {1,00}{3,00} - x \right ) = \frac {1,00}{3,00} + x\]
Som, lite uträknat blir:
\[\sqrt{4,40} \cdot \frac {1,00}{3,00} - \sqrt{4,40}x = \frac {1,00}{3,00} + x\]
Vi stuvar om lite i ekvationen och får:
\[\sqrt{4,40} \cdot \frac {1,00}{3,00} - \frac {1,00}{3,00} = \sqrt{4,40}x + x\]
\[\sqrt{4,40} \cdot \frac {1,00}{3,00} - \frac {1,00}{3,00} = \left (\sqrt{4,40} + 1 \right )x\]
\[x = \frac {\sqrt{4,40} \cdot \frac {1,00}{3,00} - \frac {1,00}{3,00}} {\sqrt{4,40} + 1} = 0,118114177\]
(För att man vara säker på att man har räknat rätt, kan man sätta in värdet för x i den ursprungliga ekvationen, och se att det verkligen blir 4,40.)
Nu är vi nästan hemma! Frågan var ju hur stora substansmängderna var efter att jämvikt ställt in sig igen – och inte bara ändringen, x. Sålunda får vi att:
\[[\text{H}_2] = [\text{CO}_2] = \frac {1,00}{3,00}\text{M} - 0,118114177\text{M} = 0,215219156\text{M}\]
och att
\[\\ n_{\text{H}_2} = n_{\text{CO}_2} = cV = 0,215219156\text{mol/dm}^3 \cdot 3,00\text{dm}^3 = \\ = 0,645657\text{mol} \approx 0,646\text{mol}\]
På samma sätt får vi att:
\[[\text{H}_2\text{O}] = [\text{CO}] = \frac {1,00}{3,00}\text{M} + 0,118114177\text{M} = 0,45144751\text{M}\]
och att
\[\\ n_{\text{H}_2\text{O}} = n_{\text{CO}} = cV = 0,45144751\text{mol/dm}^3 \cdot 3,00\text{dm}^3 = \\ = 1,35434153\text{mol} \approx 1,35\text{mol}\]
(Kanske en lite "pratig" lösning, men allt "snack" finns där för att ni ska förstå vad som händer i de olika stegen. Det blir betydligt kortare när man bara har med räkningarna, så ni behöver inte förskräckas alldeles när ni ställs inför en sådan här uppgift.) ?
| < | Prov 2005-12-05 i Kemisk jämvikt |